Может ли работодатель отказать в предоставлении выходного дня за свой счет?

Согласно ст. 106 Трудового кодекса РФ время отдыха - время, в течение которого работник свободен от исполнения трудовых обязанностей, и которое он может использовать по своему усмотрению.

Согласно ст. 111 ТК РФ всем работникам предоставляются выходные дни (еженедельный непрерывный отдых). При пятидневной рабочей неделе работникам предоставляются два выходных дня в неделю, при шестидневной рабочей неделе - один выходной день. Общим выходным днем является воскресенье. Второй выходной день при пятидневной рабочей неделе устанавливается коллективным договором или правилами внутреннего трудового распорядка. Оба выходных дня предоставляются, как правило, подряд. У работодателей, приостановка работы у которых в выходные дни невозможна по производственно-техническим и организационным условиям, выходные дни предоставляются в различные дни недели поочередно каждой группе работников согласно правилам внутреннего трудового распорядка.

Таким образом, выходные дни устанавливаются законом и правилам внутреннего трудового распорядка.

В вопросе, вероятно, речь идет об отгуле (за ранее отработанный день в выходной день) либо об однодневном отпуске без сохранения содержания.

Согласно ч. 1 ст. 128 ТК РФ по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Согласно ч. 2 ст. 128 ТК РФ работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:

участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;

работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;

родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), - до 14 календарных дней в году;

работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;

работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;

в других случаях, предусмотренных ТК РФ, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Если автор вопроса не относится ни к одной из перечисленных в ч. 2 ст. 128 ТК РФ категорий работников, то остается только договариваться с работодателем.