Как видно из вопроса, долг перед заказчиком имеется у возглавляемого вами общества с ограниченной ответственностью. Общество по своим долгам отвечает только в пределах стоимости своего имущества (п. 1 ст. 3 Федерального закона от 08.02.1998 № 14-ФЗ «Об обществах с ограниченной ответственностью»). Если у общества есть долги, но нет имущества для их погашения, то общество ликвидируется, а все его обязательства прекращаются (п. 1 ст. 57 Федерального закона «Об обществах с ограниченной ответственностью»). В вашей ситуации общество может быть реорганизовано или ликвидировано, но насколько это экономически целесообразно – решайте сами.
Действующее законодательство не возлагает на директора общества ответственность по долгам последнего. При определенных условиях директор может нести ответственность перед обществом или его участниками за убытки, причиненные обществу своим недобросовестным поведением (ст. 44 Федерального закона «Об обществах с ограниченной ответственностью»), но поскольку долг возник до вас, документы вы не подписывали, вам это не грозит.